x1 Lukuteoria 1 2022

Lukuteoria 1 2022

Ajankohtaista 16.2.2022

Kurssin tekstin alustava lopullinen versio on julkaistu alla.

Kurssin tentit 2.3. ja 23.3. ovat etätenttejä, joissa kurssimateriaalin käyttäminen on sallittua.

Seitsemänsien harjoitusten palautusaika on maanantai 28.2. klo 18 . Ratkaisut julkaistaan välittömästi palautusajan päätyttyä.

Sisältö

Kurssilla käsitellään luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen jaollisuuteen liittyviä teemoja. Aluksi tarkastelemme kokonaislukujen joukon $\mathbb Z$ ja luonnollisten lukujen joukon $\mathbb N$ ja niiden laskutoimitusten ja järjestyksen perusasioita, erityisesti induktioperiaatetta, joka liittyy luonnollisten lukujen määritelmään. Induktioperiaate on tärkeä työkalu, jota käytetään usein, kun osoitetaan, että jokin väite pätee kaikilla luonnollisilla luvuilla.

Alkuvalmistelujen jälkeen käsittelemme kokonaislukujen jaollisuutta: jos $a,b,c\in\mathbb Z$ ja pätee $ab=c$, niin $c$ on jaollinen luvuilla $a$ ja $b$ ja luvut $a$ ja $b$ ovat luvun $c$ tekijöitä. Todistamme induktion avulla jakoyhtälön: Jos $a,b\in\mathbb Z$, $b\ne 0$, niin on yksikäsitteiset kokonaisluvut $q,r\in\mathbb Z$, joille pätee $a=qb+r$ ja $0\le r<|b|$. Jakoyhtälön ensimmäisenä sovelluksena osoitamme, että kiinnitetyllä kantaluvulla $b\ge 2$ mikä tahansa kokonaisluku $x\in\mathbb Z$ voidaan esittää muodossa $$x=\pm(a_0+a_1b+a_2b^2+\cdots+a_Nb^N)=\pm\sum_{k=0}^Na_kb^k $$ sopivilla luonnollisilla luvuilla $0\le a_1,\dots,a_N< b$ ja päädymme tarkastelemaan kokonaislukuja $b$-järjestelmässä, erityisesti kantaluvuilla $b=10$ ja $b=2$ (binaariluvut).

Tarkastelemme kokonaislukujen suurinta yhteistä tekijää ja sen selvittämistä Eukleideen algoritmin avulla. Tässä jakoyhtälö tulee jälleen käyttöön.

Luonnollinen luku $p\ge 2$ on alkuluku, jos sen ainoat tekijät luonnollisten lukujen joukossa ovat $1$ ja $p$. Tutustumme alkulukujen etsimiseen Erastotheneen seulan avulla.

kuva
Osoitamme, että alkulukujen joukko on ääretön ja että kaikki positiiviset luonnolliset luvut voidaan esittää yksikäsitteisellä tavalla alkulukujen tulona.

Kurssin lopussa tutustumme kongruenssiin. Kokonaisluvut $a$ ja $b$ ovat kongruentteja modulo $q$, jos niiden erotus on jaollinen luonnollisella luvulla $q\ge 2$. Tarkastelemme ensimmäisen asteen kongruenssiyhtälöitä $ax\equiv b\mod q$ ja todistamme kiinalaisen jäännöslauseen, joka käsittelee tällaisista yhtälöistä koostuvien yhtälöryhmien ratkaisua.

Esitiedot

Kurssilla ei edellytetä erityisiä esitietoja.

Lukemista

Luennot

Kurssin teksti: Lukuteoria 2022 (päivitetty 24.2.2022).

Valkotaulut

11.1. 13.1. 18.1. 20.1. 25.1. 27.1.
1.2. 3.2. 8.2. 10.2. 15.2. 17.2. 22.2. 24.2.

Tallenteet

11.1. 13.1. 18.1. 20.1. 25.1. 27.1.
1.2. 3.2. 8.2. 10.2. 15.2. 17.2. 22.2. 24.2.

Contact information

Jouni Parkkonen
Matematiikan ja tilastotieteen laitos
PL 35
40014 Jyväskylän yliopisto